Exercices Corrigés Dépendances fonctionnelles(Forme Normale) – Partie 4

| N°| Dépendance | Résultat | Justification                                  |
|---|------------|----------| -----------------------------------------------|
| 1 | (AB → C)   |    ✅    | Toutes les valeurs de (A,B) sont différentes.  |
| 2 | (C → B)    |    ❌    | C = 8 apparaît deux fois, mais B = 1 et B = 8. |
| 3 | (BC → A)   |    ✅    | Toutes les valeurs de (B,C) sont différentes.  |
| 4 | (B → C)    |    ✅    | Toutes les valeurs de B sont différentes.      |
| 5 | (BC → A)   |    ✅    | Même dépendance que la n°3.                    |
| 6 | (A → C)    |    ❌    | A = 7 apparaît trois fois avec C = 8, 5, 5.    |
| 7 | (AC → B)   |    ✅    | Les couples (A,C) sont tous différents.        |
| 8 | (B → C)    |    ✅    | Même dépendance que la n°4.                    |

Les dépendances fonctionnelles satisfaites par cette instance sont :

AB → C​ 
BC → A​ 
B → C​ 
AC → B

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| N°| Dép.     | Rés. | Justification                                     |
|---|----------|------|---------------------------------------------------|
| 1 | (V → WX) |  ✅  | V = 7 apparaît trois fois, et WX vaut (8,c) dans  |
|   |          |      | les trois cas.                                    |
| 2 | (YZ → X) |  ✅  | X vaut toujours c, donc deux tuples ayant le même |
|   |          |      | (Y,Z) ont toujours le même X.                     |
| 3 | (X → YZ) |  ❌  | X = c apparaît 4 fois, mais (Y,Z) prend plusieurs |
|   |          |      | valeurs: (9,4), (2,4), (2,2).                     |

Les dépendances satisfaites sont: V → WX​ et YZ → X

Pour vérifier une dépendance fonctionnelle X → Y, il faut vérifier que lorsque deux tuples ont la même valeur pour X, ils ont également la même valeur pour Y. Pour V → WX, la valeur V = 7 apparaît trois fois et, dans ces trois tuples, WX = (8,c) est identique : la dépendance est donc satisfaite. Pour YZ→X, toutes les valeurs de X sont c, donc deux tuples ayant les mêmes valeurs de Y et Z ont nécessairement la même valeur de X : la dépendance est satisfaite. En revanche, X → YZ n’est pas satisfaite, car X = c apparaît dans tous les tuples alors que les valeurs de (Y,Z) sont différentes. Les réponses correctes sont donc 1 et 2.

​

1. A4 -> A1        Incorrect : le premier et le quatrième tuple le violent.
2. A2, A3 -> A4    Incorrect : le premier et le deuxième tuple le violent.
3. A2, A3 -> A1    Correct

| N°| Dépendance  | Rép.| Justification                                         |
|---|-------------|-----| ------------------------------------------------------|
| 1 | A4 → A1     | ❌  | Les 1er et 4e tuples ont A4 = 6, mais A1 = 1 et A1 = 2.
| 2 | A2, A3 → A4 | ❌  | Les 1er et 2e tuples ont A2 = 2 et A3 = 3, mais A4 = 6 
|   |             |     | et A4 = 5.       
| 3 | A2, A3 → A1 | ✅  | Les 1er et 2e tuples ont A2 = 2 et A3 = 3 et possèdent 
|   |             |     | tous les deux A1 = 1. 

Pour qu’une dépendance fonctionnelle X→Y soit satisfaite, deux tuples ayant la même valeur pour X doivent obligatoirement avoir la même valeur pour Y.

Pour A4→A1, les valeurs de A4 = 6 apparaissent dans les premier et quatrième tuples, mais A1 vaut respectivement 1 et 2 : la dépendance est donc violée.

Pour A2,A3→A4, les deux premiers tuples ont A2 = 2 et A3 = 3, mais A4 vaut 6 puis 5 : la dépendance est également violée.

En revanche, pour A2,A3→A1, les deux premiers tuples ont A2 = 2 et A3 = 3 et, dans les deux cas, A1 = 1 ; aucun autre couple identique de (A2,A3) ne produit une valeur différente de A1. La troisième dépendance est donc satisfaite par cette instance.

Conseil : pour lister toutes les DF satisfaites par la relation, il faut d’abord identifier toutes les DF possibles, puis vérifier une à une lesquelles sont satisfaites par la relation.

| N°| Dépendance | Rép. | Justification                                 |
|---|------------|------| ---------------------------------------------------|
| 1 | A → B      |  ✅  | Pour une même valeur de A, la valeur de B est
|   |            |      | toujours b1.                                                  
| 2 | A → C      |  ❌  | Pour A = a1, on obtient C = c1 et C = c2.             
| 3 | B → A      |  ❌  | Pour B = b1, on obtient A = a1 et A = a2.             
| 4 | B → C      |  ❌  | Pour B = b1, on obtient C = c1, c2 et c3.             
| 5 | C → A      |  ❌  | Pour C = c1, on obtient A = a1 et A = a2.             
| 6 | C → B      |  ✅  | Pour toutes les valeurs de C, la valeur de B est      
|   |            |      | toujours b1.                                          
| 7 | A, B → C   |  ❌  | (A,B) = (a1,b1) apparaît avec C = c1 et C = c2.       
| 8 | A, C → B   |  ✅  | Quelle que soit la combaison (A,C), B = b1.           
| 9 | B, C → A   |  ❌  | (B,C) = (b1,c1) apparaît avec A = a1 et A = a2.       

Les dépendances fonctionnelles non triviales satisfaites par cette instance sont:

A → B
C → B
A, C → B

Remarque: comme B prend toujours la même valeur (b1) dans toute la relation, tout ensemble d’attributs contenant A ou C permet également de déterminer B. Ici, on liste surtout les dépendances élémentaires/non triviales utiles pour l’exercice.